Assalamu'alaikum Wr. Wb. Selamat tiba di blog . Senang sekali rasanya kali ini sanggup kami bagikan bahan pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan pola soal beserta pembahasannya). Silakan disimak selengkapnya..
Pengertian Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang memiliki hukum tertentu.
Contoh Barisan bilangan :
1) 2, 6 , 10, 14,…
Aturan pembentukannya yaitu “ ditambah 4”
Dua suku berikunya adalah 18 dan 22.
2) 1, 2, 5, 10,…
Aturan pembentukannya yaitu “ ditambah bilangan ganjil berurutan “
Dua suku berikutnya yaitu 17 dan 26
3) 2, 6, 18, 54, ….
Aturan pembentukannya yaitu “dikalikan 3”
Dua suku berikutnya yaitu 162 dan 486
4) 96, 48, 24, 12, …
Aturan pembebtukannya yaitu “ dibagi 2”
Dua suku berikutnya yaitu 6 dan 3
5) 1, 1, 2, 3, 5, …
Aturan pembentukannya yaitu “ suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di depannya “. Dua suku berikutnya yaitu (3+5)=8 dan (5+8) = 13. Barisan bilangan 1,1,2,3,5,8,,…… disebut barisan Fibonacci
Macam-macam barisan bilangan :
1. Barisan dan Deret Aritmetika
a. Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda (selisih) yang sama/tetap.
Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus :
U1, U2, U3, ….Un
a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b
Selisih (beda) dinyatakan dengan b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1
Suku ke n barisan aritmetika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a + (n-1) b
Keterangan:
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama →U1 = a
b = selisih/beda
Contoh soal :
1. Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,…
Jawab:
n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1)4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58
b. Deret Aritmetika
Deret Aritmetika yaitu jumlah suku-suku pada barisan aritmetika.
Bentuk umum deret aritmetika:
a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b )
Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmetika dirumuskan dengan:
Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )
Contoh soal Deret Aritmetika :
Suatu deret aritmetika 5, 15, 25, 35, …
Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?
Jawab:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500
2. Barisan dan Deret Geometri
a. Barisan Geometri
Barisan Geometri yaitu suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa perkalian yang memiliki rasio yang sama/tetap.
Suku-sukunya dinyatakan dengan:
U1, U2, U3, ….Un
a, ar, ar2, ar3, …., arn – 1
Rasio dinyatakan dengan r :
r = Un/Un-1
Suku ke n barisan Geometri (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a . r n – 1
Keterangan:
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama→U1 = a
r = rasio
Contoh soal Barisan Geometri :
Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, … adalah….
Jawab:
n = 10
a = 2
r = 2
Un = a . r n – 1
U10 = 2 . 210 – 1
= 2 . 29
= 210 = 1.024
b. Deret Geometri
Deret Geometri yaitu jumlah suku-suku pada barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = arn–1. Rumus umum untuk memilih jumlah n suku pertama dari deret geometri sanggup diturunkan sebagai berikut.
Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.
Sn = U1 + U2 + ... + Un
Sn = a + ar + ... + arn–2 + arn–1 .............................................. (1) Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :
rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn ................................... (2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :
rSn = | ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn | ||
Sn = | a + | ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 | - |
rSn - Sn = | –a + arn | ||
↔ (r – 1)Sn = a(rn–1)
↔ Sn =
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri yaitu sebagai berikut.
↔ Sn =
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri yaitu sebagai berikut.
Sn = , untuk r > 1
, untuk r > 1 Sn = 
, untuk r < 1
, untuk r < 1 Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Apa yang terjadi jikalau r bernilai 1?
Contoh Soal Deret Geometri:
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)
Pembahasan :
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret hingga 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn = ↔ S8 = 
= 2(256 – 1) = 510
↔ S8 = = 2(256 – 1) = 510 Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut yaitu 510.
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...
Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = 
(r < 1).
(r < 1). Jumlah deret hingga 6 suku pertama, berarti n = 6.
Sn = ↔ S6 = 
= 24(1- 
) = 
↔ S6 = = 24(1- ) = Contoh Soal Geometri :
Diketahui deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363. Tentukan :
a. suku pertama;
b. rasio;
c. banyak suku.
c. banyak suku.
Penyelesaian :
Deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363
a. Suku pertama: a = 3
b. Rasio: r = ... = .... = 3
c. Untuk Sn = 363
Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :
Sn =
↔ 363 = 
↔ 726 = 3n+1 – 3
↔ 3n+1 = 729
↔ 3n+1 = 36
Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut yaitu 5.
Contoh Soal Geometri :
Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...
Kunci Jawaban :
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya sanggup ditentukan sebagai berikut.
Sn = 
Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 yaitu :
> 1.000 ↔ 4n > 3.001 Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :
log 4n > log 3.001
↔ n log 4 > log 3.001
↔ n > 
↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk memilih nilai logaritma)
Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 yaitu 6.
Baca pula :
Demikian bahan pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan pola soal beserta pembahasannya). Semoga bermanfaat...
