Bilangan Berpangkat Dan Bentuk Akar (Materi & Soal)

Assalamu'alaikum Wr. Wb. Selamat tiba di blog . Senang sekali rasanya kali ini sanggup kami bagikan bahan Matematika kelas 9 Semester 2 Bab Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar beserta pola soalnya.

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Bilangan Berpangkat Positif, Negatif, dan Nol

Pengertian Perpangkatan

 
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri.
 
Contoh:
2^2 (dibaca: dua pangkat dua) yang sama artinya dengan 2 x 2
4^3 (dibaca: empat pangkat tiga) yang sama artinya dengan 4 x 4 x 4
7^5 (dibaca: tujuh pangkat lima) yang sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7

Ket. : ^ = pangkat

Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen positif.

Contoh:
3^2 = 3 x 3 = 9
4^3 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)^2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)^3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

Bilangan kuadrat tepat ibarat 1, 4, 9, dan 16 sanggup dinyatakan dalam bentuk geometri ibarat di bawah ini:

Bilangan kuadrat tepat ialah bilangan yang merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.

Sebagai pola di atas 16 ialah bilangan kuadrat tepat alasannya ialah 16 = 4 x 4

4. Notasi 4 x 4 sanggup dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan pokok dipakai sebagai faktor.

Bilangan yang dipakai sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 4^2. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen.

Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya ialah 2 dan faktornya ialah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^5.

b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya ialah m dan
faktornya ialah 4.
m x m x m x m = m^4.

c. 7
Bilangan pokoknya ialah 7 dan
faktornya ialah 1
7 = 7^1.

d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan memakai sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan pokok yang sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 2^3(-5)^2

Jarak antara bumi dan matahari ialah sekitar10^8 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.
10^8 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi dan matahari ialah sekitar 100 juta kilometer.

Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol

Bilangan bundar berpangkat negative

Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat ialah bundar negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10^-1 dan 10^-2. Dengan memperluas pola yang ada, maka hasil yang sanggup diperoleh ialah 10^-1 = 1/10 dan 10^-2 = 1/10^2 1/100

Pada pola tersebut, apabila kau kalikan bilangan pokok, pangkatnya naik satu. Sebagai pola 10^3 x 10 = 10^4. Sedangkan apabila kau bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10^-2 : 10 = 10^-3
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0 berlaku

Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh: 

 (-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10^-3 memakai pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10^-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001

Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli mempunyai lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul mempunyai diameter 1 milimeter. Berapa banyak kuman E.coli yang sanggup mengisi diameter jarum tersebut.

Untuk memilih banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10^-3 = 1/〖10^(-3) = 10^3 = 1000
Kaprikornus banyak kuman yang sanggup mengisi diameter jarum pentul ialah 1000 bakteri.

Bilangan bundar berpangkat nol
 
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0, maka

Bilangan a^0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.

Contoh:
3^0 = 1
(-10)^0 = 1
(-21)^-3 + (-21)^3 = (-21)^0 = 1

Bilangan Pecahan Berpangkat

Bentuk pangkat sanggup ditulis sabagai berikut:

(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
 

Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1

Bentuk Akar
 

Rindy mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Rindy akan menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa panjang renda yang dibutuhkan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi biar kita sanggup menghitung keliling saputangan tersebut.

Misal panjang sisi saputangan ialah n cm maka Rindy harus memilih n × n = 900. Dalam hal ini n = 30 alasannya ialah 30 × 30 = 900 atau 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melaksanakan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai √900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.

Simbol √ disebut tanda akar, dipakai untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6 

Bilangan di dalam tanda akar dihentikan negatif.

Pada problem mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar yang lain, yaitu akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus ialah 64 cm3, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?

Misal panjang rusuk tersebut ialah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
 

Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa 43 = 64 dengan demikian p = 4.

Secara umum sanggup kita tuliskan:

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :  
3² = 3 x 3 
2³ = 2 x 2 x 2  
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5   

Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.   

Dengan a bilangan bundar dan n bilangan bundar positif. Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
 
Sifat 1 aⁿ x aⁿ = a^{m + n}   

2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³   

Sifat 2 a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n 

5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}   

 Sifat 3 (a^m)ⁿ = a^{m x n} 

(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
           = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
           = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
           = 38
       = 3^{4 x 2}
 
Sifat 4 (a x b)^m = a^m x b^m 

(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³   

Sifat 5 (a : b)^m = a^m : b^m  

(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu sanggup disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2ⁿ
 
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat

Kita telah mengetahui bahwa pecahan ialah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bundar (b ≠ 0). Bagaimanakah jikalau pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk memilih hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan memilih hasil bilangan bundar yang dipangkatkan dengan bilangan bulat. 

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang sanggup dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bundar dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional ialah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.
 
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk^a/_b dengan a, b bilangan bundar dan b ≠ 0. Contoh bilangan irasional ialah . Bilangan-bilangan tersebut, jikalau dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, pola bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk ibarat itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan pola yang lain?  Bentuk akar ialah akar dari suatu bilangan yang kesudahannya bukan bilangan Rasional.  Bentuk akar sanggup disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi √a² = a jikalau a ≥ 0, dan –a jikalau a < 0 

Contoh : Sederhanakan bentuk akar berikut √75 Jawab : √75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bundar tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh alasannya ialah itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar sanggup dilakukan jikalau mempunyai suku-suku yang sejenis.
 

   

Kesimpulan : jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh : 

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.  

Contoh :  

 

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih gampang menuntaskan soal-soal operasi adonan pada bentuk akarnya. Sebelum melaksanakan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

• Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan ialah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih berpengaruh daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :
 

 

Merasionalkan Penyebut

 

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya    

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut ialah

Merasionalkan penyebut ialah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b ialah bilangan rasional, serta √b ialah bentuk akar maka pecahan ^a/_√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b . 

 

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut sanggup dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) ialah (a+√b) ialah dan sebaliknya. Bukti  :

  

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut sanggup dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut. 

Demikian  bahan Matematika kelas 9 Semester 2 Bab Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar beserta pola soalnya. Semoga bermanfaat.